\section{Réduction en dimension}
\noindent Comme expliqué précédemment, il n'est pas possible de distinguer de manière simple certaines classes, comme les classes \texttt{\texttt{RGB2}} et \texttt{\texttt{RGB4}} par exemple. Il est donc important de trouver un moyen pour ne plus avoir autant de recouvrement entre les classes.\\

\noindent Nous avons également recours à la méthode de \emph{Fisher} qui, pour K classes en entrée de dimension D, nous retourne K classes de dimension K-1 (le nombre de classes en entrée doit être au plus égale à la dimension des classes en entrée).\\

\subsection{Suppression d'une dimension}

\noindent Il peut être intéressant de supprimer directement une des dimensions de nos classes.
Par exemple, en utilisant l'espace de couleur \texttt{HSV}, la première composante n'est pas significative de l'échantillon, car est directement liée à l'environnement dans lequel nos échantillons ont été acquis. 

\noindent De même, il peut être intéressant de travailler sans la composante \emph{rouge} des échantillons, car elle ne permet en rien de différencier nos classes. En effet, dans l'ensemble des classes, on note une forte ressemblance de cette composante (cf figures \ref{minMax}, \ref{ecartType}). Nous constatons que les valeurs \emph{min} et \emph{max} sont très proches et l'écart type des différentes classes pour le rouge est proche.

\noindent En faisant l'estimation par une gaussienne de la composante rouge des classes (cf figure \ref{allGauss}), nous constatons qu'il y a un fort recouvrement.

\begin{figure}[h]
    \center
    \includegraphics[scale=0.6]{images/hist_all.png}
    \caption{Distribution des classes dans différents espaces de couleurs \texttt{RGB}}
    \label{allGauss}
\end{figure}

\newpage

\noindent Les classes \textit{rgb\_1} et \textit{rgb\_3} sont facilement séparable sur la composante verte. De même, il est possible de séparer facilement les classes \textit{rgb\_3} et \textit{rgb\_4} sur la composante bleue. cependant, aucune classe n'est facilement séparable sur la composante rouge.\\


\subsection{Réduction par ACP}
\noindent Utiliser l'\texttt{ACP} permet de réduire nos classes en dimensions, tout en gardant le maximum d'informations et en réduisant au mieux le bruit.\\
Sur la figure \ref{pca_2D_3D}, nous avons représenté en haut à gauche la classe \texttt{RGB1} vu du plan $(r, g)$ (rouge) et la classe \texttt{RGB1} après application de l'\texttt{ACP} pour passer de trois à deux dimensions (bleu).\\
En haut à droite est représenté la classe \texttt{RGB1} (rouge) et la classe \texttt{RGB1} après application de l'\texttt{ACP} tout en restant en trois dimensions (bleu).
En bas à gauche, nous avons représenté l'ensemble des quatre classes après application de l'\texttt{ACP} pour passer de trois à deux dimensions. De façon analogue, la figure en bas à droite représente les quatre classe après \texttt{ACP}, mais en laissant le nombre de dimensions inchangé.

\begin{figure}[h]
    \center
    \includegraphics[scale=0.4]{images/pca.png}
    \caption{PCA sur classe \texttt{RGB1} en 2D et 3D (en haut). PCA appliqué sur les quatres classes en 2D et 3D (en bas)}
    \label{pca_2D_3D}
\end{figure}


\noindent Nous pouvons voir sur la figure \ref{pca_2D_3D} que la réduction en dimensions par \texttt{ACP} ne permet pas de séparer les échantillons que ce soit en $2D$ (en bas à gauche) ou en $3D$ (en bas à droite) ce qui expliquera que nos résultats de classification après une \texttt{ACP} ne sont pas pertinents \ref{tab_1v2_pca_2} \ref{tab_1v2_pca_3}).

\subsection{Réduction par Fisher}
\noindent \texttt{Fisher} est une méthode qui permet de réduire nos classes en dimensions.\\
Appliquer \texttt{Fisher} sur K classes de dimensions D permet d'obtenir K classes de dimensions K-1. Il est cependant important de ne pas utiliser \texttt{Fisher} sur plus de classe que la dimension des classes elle même.\\

\begin{figure}[h]
    \center
    \includegraphics[scale=0.3]{images/fisher.png}
    \caption{Fisher sur \texttt{RGB1} et \texttt{RGB2} avec \texttt{RGB1\_V} (Gauche). 
    Fisher sur \texttt{RGB2} et \texttt{RGB4} avec \texttt{RGB4\_V} (Droite)}
    \label{droite_fisher}
\end{figure}

\noindent Sur la figure précédente, la droite \emph{ortho fisher} représente la meilleure séparation des deux classes. Il suffit ensuite de projeter les points sur une droite orthogonale à \emph{ortho fisher}. Ainsi, les classes d'apprentissage ainsi que la classe test en entrée faisant 3 dimensions se retrouvent projetés sur une droite, donnant les nouvelles coordonnées des échantillons. Ensuite, il suffit d'appliquer un classifieur avec ces nouvelles coordonnées.\\

\noindent On peut voir que \textit{Fisher} permet d'avoir une bonne séparation des classes \textit{rgb\_1} et \textit{rgb\_3} (image de gauche). Seule une faible partie de la classe \textit{rgb\_3} sera en concurrence avec la classe \textit{rgb\_1}.\\
Pour ce qui est de la séparation de \textit{rgb\_2} et \textit{rgb\_4}, la projection sur la droite de \textit{Fisher} risque de mélanger encore plus ces deux classes.\\